フーリエ関連公式まとめ

学

というか tex 記法を試してみたかっただけ。

sin/cos によるフーリエ級数展開

4$f(t)=\frac{a_0}{2}+\bigsum_{k=1}^{\infty}{(a_k \cos(k w_0 t)+b_k \sin(k{w_0}t))}
ただし
4$w_0=\frac{2\pi}{T}
4$a_k=\frac{2}{T} \bigint_{t_0}^{t_0+T}{f(t)\cos(k w_0 t)dt （k=0,1,2,...）（t_0 : 任意）
4$b_k=\frac{2}{T} \bigint_{t_0}^{t_0+T}{f(t)\sin(k w_0 t)dt （k=1,2,3,...）（t_0 : 任意）

複素指数関数によるフーリエ級数展開

4$f(t)=\bigsum_{k=-\infty}^{\infty}{C_k e^{j k w_0 t}
ただし
4$w_0=\frac{2\pi}{T}
4$C_k=\frac{1}{T} \bigint_{t_0}^{t_0+T}{f(t) e^{-j k w_0 t}dt（k\in Z,-\infty<k<\infty）

フーリエ変換

関数が非周期関数の場合に用いる．
4$X(\omega)=F[x(t)]=\bigint_{-\infty}^{\infty}{x(t) e^{-j \omega t}dt

逆フーリエ変換

4$x(t)=F^{-1}[X(\omega)]=\frac{1}{2\pi} \bigint_{-\infty}^{\infty}{X(\omega) e^{j \omega t} d\Omega

三角関数を 4$e に展開（おまけ）

よく使うので．
4$sin(\alpha t)=\frac{e^{j \alpha t}-e^{-j \alpha t}}{2 j}
4$cos(\alpha t)=\frac{e^{j \alpha t}+e^{-j \alpha t}}{2}