パーセバルの定理を証明せよ

やっべ今日までの課題だった。忘れてた。

$f(t)$ を周期 $T$ の周期信号とすると、
$\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^2dt=\sum_{k=-\infty}^\infty|C_k|$

これがヒントらしい。

$f(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty C_k\;e^{jk\omega_0 t}$ とすると

[tex:\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^2dt=]

$\qquad=<\sum_{k=-\infty}^\infty C_k\;e^{jk\omega_0 t},\sum_{l=-\infty}^\infty C_k\;e^{jl\omega_0 t}>$

[tex:\qquad=\sum_{k=-\infty}^\infty \sum_{l=-\infty}^\infty]

$\qquad=\sum_{k=-\infty}^\infty \sum_{l=-\infty}^\infty \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}C_k\;e^{jk\omega_0 t}(C_k\;e^{jl\omega_0 t})^*dt$

$\qquad=\sum_{k=-\infty}^\infty \sum_{l=-\infty}^\infty C_kC_l\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{j(k-l)\omega_0 t}dt$

で、

$k\neq l\;\to 0$

$k=l\;\to not0$

ヒントっていうか多分途中までなんだろう。